Qual a diferença entre regra de três direta e inversa?

É a relação entre as duas grandezas: se quando uma aumenta a outra também aumenta, é direta (exemplo: mais quilos, mais preço). Se quando uma aumenta a outra diminui, é inversa (exemplo: mais trabalhadores, menos tempo para terminar o serviço). Antes de montar a proporção, pergunte sempre: "se X dobra, Y dobra ou cai pela metade?"

Como resolver passo a passo uma regra de três direta?

Monte duas colunas (uma para cada grandeza) e duas linhas (a conhecida e a que tem o x). Escreva a proporção a/c = b/x, multiplique cruzado e isole o x: x = (b × c) / a. Dica: coloque a incógnita sempre na coluna de cima, assim fica fácil "cortar" com os outros valores.

Como resolver uma regra de três inversa?

Mesma ideia, mas você inverte uma das razões. Para o layout a : b / c : x, a relação inversa fica a/c = x/b (ou a × b = c × x). Multiplicando cruzado: x = (a × b) / c. Se preferir decorar apenas um caso, lembre: "na inversa, inverta a segunda fração".

Posso usar regra de três para qualquer problema de proporção?

Para problemas que envolvem proporção constante entre grandezas, sim — e é uma das ferramentas mais úteis da matemática escolar. O que não cabe na regra de três: relações não lineares (juros compostos, área em função do lado, crescimento exponencial). Se dobrar uma grandeza não dobra exatamente a outra, não é proporcional e, portanto, não é regra de três.

E se o resultado der um número quebrado?

É normal. 3 kg custam R$ 10, quanto custam 7 kg? (10 × 7) ÷ 3 = 23,33. Em contextos reais (dinheiro, medidas), arredonde conforme a situação. Em provas, costume-se deixar a forma exata (fração) quando o problema pedir.

Como calcular regra de três

Três calculadoras em uma: regra de três simples direta, simples inversa e composta — com o passo a passo explicando a natureza de cada grandeza e mostrando a proporção com seus números.

Preencha os valores conhecidos. A calculadora resolve como proporção direta: se um dobra, o outro também dobra.

Grandeza A	Grandeza B (x)
Valor a	Valor b
Valor c	x = ?

Exemplos:

O que é regra de três

A regra de três é um método para encontrar um valor desconhecido em uma proporção entre grandezas. Sempre que você tem duas (ou mais) grandezas cuja razão é constante — isto é, quando uma varia, as outras variam na mesma proporção —, basta montar a proporção, multiplicar em cruz e isolar a incógnita.

É uma das ferramentas mais úteis da matemática escolar porque aparece em quase todo problema de aplicação: preço por quilo, velocidade média, mistura de ingredientes, cálculo de impostos proporcionais, escala em mapas, ajuste de doses em medicamentos.

Regra de três simples direta

df r a c a c = df r a c b x q u a d L o n g r i g h t a r r o w q u a d x = df r a c cc d o t b a

Duas grandezas diretamente proporcionais variam juntas: se uma dobra, a outra dobra; se uma cai pela metade, a outra também.

Exemplo: 3 kg de feijão custam R$ 12. Quanto custam 5 kg?

Grandezas: peso (kg) e preço (R$). Mais peso → mais preço: direta.
Proporção: 3/5 = 12/x.
Multiplica cruzado: 3x = 5 × 12 = 60.
Isola x: x = 60/3 = R$ 20.

Regra de três simples inversa

df r a c a c = df r a c x b q u a d L o n g r i g h t a r r o w q u a d x = df r a c a c d o t b c

Duas grandezas inversamente proporcionais variam em direções opostas: se uma dobra, a outra cai pela metade.

Exemplo: 8 trabalhadores terminam uma obra em 6 dias. Quantos dias 4 trabalhadores levariam?

Grandezas: trabalhadores e dias. Mais trabalhadores → menos dias: inversa.
Proporção inversa: 8/4 = x/6.
Multiplica cruzado: 4x = 8 × 6 = 48.
Isola x: x = 48/4 = 12 dias.

Intuição: com metade dos trabalhadores, o tempo dobra. Meia mão de obra, o dobro de tempo — a relação inversa preserva o produto entre grandezas (8 × 6 = 4 × 12 = 48 homens-dia).

Regra de três composta

Quando há mais de duas grandezas, a regra é composta. O método é o mesmo, só que com mais fatores: para cada grandeza, decida a natureza relativa ao x (direta ou inversa), monte a proporção e resolva.

x = r_{1 x} im es p r o d_{i} e x t r a z \tilde{a} o_{i}

Onde cada razão é v₂/v₁ para grandezas diretas e v₁/v₂ para inversas (os índices 1 e 2 representam as linhas conhecidas).

Exemplo: 5 máquinas, em 8 horas, produzem 400 peças. Quantas horas 3 máquinas levam para produzir 300 peças?

Grandezas: máquinas, horas (x), peças.
Máquinas: mais máquinas → menos horas = inversa.
Peças: mais peças → mais horas = direta.
Monte: 8/x = (5/3) × (300/400). Inversa inverte (5/3 em vez de 3/5); direta fica na ordem natural (300/400).
Calcule: 8 × (3/5) × (400/300) — "invertendo para isolar x" — e obtém 10 horas. (Na forma da calculadora: x = 8 × 5/3 × 300/400 = 10.)

Erros comuns

Confundir direta com inversa. Sempre pergunte: "se a grandeza X dobra, Y dobra ou cai pela metade?". Sem essa análise, o resultado sai errado mesmo com a conta certa.
Inverter a fração errada. Em inversa, inverta uma das razões — não as duas. Se inverter as duas, você volta à situação direta.
Misturar unidades. Não monte a proporção com trabalhadores de um lado e semanas do outro sem perceber. Alinhe as mesmas grandezas na mesma coluna.
Usar regra de três onde não há proporção constante. Juros compostos, crescimento exponencial, área em função do lado — essas relações não são lineares. Regra de três só serve quando a razão é constante.
Errar a posição do x. A incógnita fica na linha 2, na coluna da grandeza que queremos descobrir. Confundir linhas costuma gerar respostas invertidas (duas vezes maiores ou menores que o real).

Aplicações no dia a dia

Preços proporcionais. Qualquer compra no mercado: se 1 kg custa R$ 5, 3,5 kg custam R$ 17,50.
Velocidade média. Se eu rodo 60 km em 1h, em 2h30 rodo quantos km? Regra de três direta.
Escala em mapas. 1 cm no mapa representa 5 km no real; quantos cm representam 32 km?
Produtividade. 8 trabalhadores terminam em 6 dias. Quantos dias para 12 trabalhadores? Inversa.
Ajuste de receitas. Receita para 4 pessoas usa 200 g de arroz. Para 6 pessoas, quantos gramas? Direta.

Perguntas frequentes

Qual a diferença entre regra de três direta e inversa?: É a relação entre as duas grandezas: se quando uma aumenta a outra também aumenta, é direta (exemplo: mais quilos, mais preço). Se quando uma aumenta a outra diminui, é inversa (exemplo: mais trabalhadores, menos tempo para terminar o serviço). Antes de montar a proporção, pergunte sempre: "se X dobra, Y dobra ou cai pela metade?"
Como saber se é composta?: A regra é composta quando há mais de duas grandezas envolvidas. Exemplo clássico: 5 máquinas, em 8 horas, produzem 400 peças — quantas horas 3 máquinas levam para produzir 300 peças? Três grandezas (máquinas, horas, peças) entram na conta. Em cada grandeza, você precisa definir a natureza em relação ao x.
Como resolver passo a passo uma regra de três direta?: Monte duas colunas (uma para cada grandeza) e duas linhas (a conhecida e a que tem o x). Escreva a proporção a/c = b/x, multiplique cruzado e isole o x: x = (b × c) / a. Dica: coloque a incógnita sempre na coluna de cima, assim fica fácil "cortar" com os outros valores.
Como resolver uma regra de três inversa?: Mesma ideia, mas você inverte uma das razões. Para o layout a : b / c : x, a relação inversa fica a/c = x/b (ou a × b = c × x). Multiplicando cruzado: x = (a × b) / c. Se preferir decorar apenas um caso, lembre: "na inversa, inverta a segunda fração".
Posso usar regra de três para qualquer problema de proporção?: Para problemas que envolvem proporção constante entre grandezas, sim — e é uma das ferramentas mais úteis da matemática escolar. O que não cabe na regra de três: relações não lineares (juros compostos, área em função do lado, crescimento exponencial). Se dobrar uma grandeza não dobra exatamente a outra, não é proporcional e, portanto, não é regra de três.
E se o resultado der um número quebrado?: É normal. 3 kg custam R$ 10, quanto custam 7 kg? (10 × 7) ÷ 3 = 23,33. Em contextos reais (dinheiro, medidas), arredonde conforme a situação. Em provas, costume-se deixar a forma exata (fração) quando o problema pedir.