Qual a diferença entre média, mediana e moda?

As três são medidas de tendência central, mas respondem perguntas diferentes. A média aritmética é o "ponto de equilíbrio" dos valores — soma tudo e divide pela quantidade. A mediana é o valor que divide a amostra ao meio quando ela está ordenada — metade dos dados fica acima, metade abaixo. A moda é simplesmente o valor que mais aparece. Quando a distribuição é simétrica, as três coincidem; quando há outliers, elas divergem.

Quando a média engana?

Sempre que há valores muito extremos (outliers). Se 9 pessoas ganham R$ 2.000 e uma ganha R$ 100.000, a média é R$ 11.800 — um valor que não representa ninguém. Nesse caso, a mediana (R$ 2.000) reflete melhor o "típico". Use mediana em rendas, tempos de resposta, preços de imóveis — qualquer distribuição com cauda longa.

Uma lista pode ter mais de uma moda?

Pode. Se dois valores empatam na maior frequência, a lista é bimodal; três ou mais empatados, multimodal. Se todos aparecem o mesmo número de vezes, não há moda (lista amodal). É normal — o importante é relatar corretamente em vez de "escolher" uma das modas.

Como se calcula a mediana quando há um número par de valores?

Ordene a lista e pegue os dois valores centrais — a mediana é a média aritmética deles. Exemplo: em {2, 4, 6, 8}, os dois centrais são 4 e 6, e a mediana é (4 + 6) ÷ 2 = 5. Com número ímpar de valores é mais direto: é simplesmente o do meio.

A média pode não ser um dos valores da lista?

Sim, é comum. A média de {1, 2, 4} é 2,33… Nenhum dos valores originais é 2,33, e isso não é um erro — a média é uma medida calculada, não precisa coincidir com um elemento da amostra. O mesmo vale para a mediana em conjuntos pares. A moda, por definição, sempre é um valor presente na lista.

Precisa ordenar a lista para calcular a média?

Não. A média só depende da soma e da quantidade — a ordem não importa. Você só precisa ordenar para achar a mediana (e a ordenação é útil também para visualizar a distribuição). A moda pede contagem de frequências, também independente da ordem.

Como calcular média, mediana e moda

Calcule média, mediana e moda de uma lista com 2 a 100 números de uma vez só. Cada medida aparece com o passo a passo usando exatamente os valores que você digitou — soma e divisão para a média, ordenação para a mediana e tabela de frequências para a moda.

O que são medidas de tendência central

Quando você tem uma lista de valores, normalmente quer responder: "qual é o valor típico dessa amostra?". As três medidas de tendência central — média aritmética, mediana e moda — respondem isso de formas diferentes, e usar a errada pode levar a conclusões enganosas. A estatística descritiva começa por elas porque elas resumem, em um único número, um conjunto inteiro de observações.

Média aritmética

A média é a soma de todos os valores dividida pela quantidade de valores. É o que a gente usa para "notas da prova", "altura média da turma", "consumo médio de combustível". A fórmula é:

ar{x} = dfrac{x_1 + x_2 + cdots + x_n}{n} = dfrac{sum x_i}{n}

A média é sensível a valores extremos. Se a turma tirou 7, 7, 8, 8, 9 e um aluno tirou 1, a média cai bastante apesar de a maior parte ter ido bem. Por isso, quando há outliers, a média pode esconder o comportamento típico — e é aí que a mediana entra.

Mediana

A mediana é o valor central da lista ordenada. Ela divide os dados em duas metades: 50% ficam abaixo e 50% acima. Para encontrá-la:

Ordene os valores do menor para o maior.
Se n é ímpar, a mediana é o valor na posição (n+1)/2.
Se n é par, a mediana é a média aritmética dos dois valores centrais — nas posições n/2 e n/2 + 1.

Exemplo: em {3, 5, 7, 9}, os dois centrais são 5 e 7; a mediana é (5 + 7) ÷ 2 = 6. Em {3, 5, 7, 9, 11}, a mediana é simplesmente o do meio: 7. A mediana é robusta a outliers — trocar o 11 por 1000 não muda a mediana em nada.

Moda

A moda é o valor que aparece com maior frequência na lista. Uma lista pode ter:

Uma moda (unimodal): apenas um valor se repete mais que os demais.
Duas modas (bimodal): dois valores empatam na maior frequência.
Várias modas (multimodal): três ou mais valores empatam.
Nenhuma moda (amodal): todos os valores aparecem o mesmo número de vezes (inclusive o caso em que cada valor aparece apenas uma vez).

A moda é a única das três medidas que também faz sentido para dados categóricos — ex.: "a cor mais comum nos carros do estacionamento". Para dados numéricos, costuma ser útil quando há agrupamento natural (notas redondas, idades em anos completos, valores discretos).

Exemplo resolvido

Considere as notas {4, 7, 10, 7, 8}.

Média: (4 + 7 + 10 + 7 + 8) ÷ 5 = 36 ÷ 5 = 7,2.
Mediana: ordenada fica {4, 7, 7, 8, 10}. Como n = 5 (ímpar), a mediana é o valor central — 7.
Moda: o 7 aparece duas vezes e os demais uma vez cada — a moda é 7.

Neste caso, mediana e moda coincidem, e a média está próxima — é sinal de distribuição razoavelmente simétrica sem outliers marcantes.

Quando cada uma é mais útil

Média — quando os dados são simétricos e sem extremos drásticos. Boletins escolares, temperaturas, indicadores que usam "média ponderada" por trás.
Mediana — quando há outliers ou distribuição assimétrica. Renda, preços de imóveis, tempos de execução de software, salários.
Moda — para dados categóricos ou discretos com repetição. Preferências, número de filhos por família, tamanho mais vendido de uma camiseta.

Erros comuns

Esquecer de ordenar a lista antes de pegar a mediana. Pegar "o do meio" sem ordenar dá qualquer coisa.
Confundir mediana com "média dos extremos". A média entre o maior e o menor é outra medida (ponto médio ou amplitude média), não a mediana.
Reportar "a moda" quando há empate. Se dois ou mais valores empatam em frequência máxima, diga isso — a lista é bimodal/multimodal, e omitir modas é informação perdida.
Considerar lista com todos os valores únicos como tendo moda. Se todos aparecem uma única vez, a lista é amodal. Não é erro; apenas indique corretamente.
Usar média em distribuição muito assimétrica. A média de salários em uma empresa com poucos executivos altíssimos distorce tudo. A mediana seria mais representativa.

Aplicações no dia a dia

Notas escolares: média para aprovação, mediana para entender se a turma está equilibrada.
Renda e demografia: mediana é sempre reportada junto com a média porque resiste a bilionários puxando o número para cima.
Esportes: média de pontos por jogo, mediana do tempo de corrida, moda da quantidade de rebotes num jogo.
Indicadores de cidade: mediana do preço do aluguel é padrão em relatórios imobiliários.
Pesquisa e qualidade: moda da satisfação em escala Likert, mediana do tempo de resposta em atendimento.

Perguntas frequentes

Qual a diferença entre média, mediana e moda?: As três são medidas de tendência central, mas respondem perguntas diferentes. A média aritmética é o "ponto de equilíbrio" dos valores — soma tudo e divide pela quantidade. A mediana é o valor que divide a amostra ao meio quando ela está ordenada — metade dos dados fica acima, metade abaixo. A moda é simplesmente o valor que mais aparece. Quando a distribuição é simétrica, as três coincidem; quando há outliers, elas divergem.
Quando a média engana?: Sempre que há valores muito extremos (outliers). Se 9 pessoas ganham R$ 2.000 e uma ganha R$ 100.000, a média é R$ 11.800 — um valor que não representa ninguém. Nesse caso, a mediana (R$ 2.000) reflete melhor o "típico". Use mediana em rendas, tempos de resposta, preços de imóveis — qualquer distribuição com cauda longa.
Uma lista pode ter mais de uma moda?: Pode. Se dois valores empatam na maior frequência, a lista é bimodal; três ou mais empatados, multimodal. Se todos aparecem o mesmo número de vezes, não há moda (lista amodal). É normal — o importante é relatar corretamente em vez de "escolher" uma das modas.
Como se calcula a mediana quando há um número par de valores?: Ordene a lista e pegue os dois valores centrais — a mediana é a média aritmética deles. Exemplo: em {2, 4, 6, 8}, os dois centrais são 4 e 6, e a mediana é (4 + 6) ÷ 2 = 5. Com número ímpar de valores é mais direto: é simplesmente o do meio.
A média pode não ser um dos valores da lista?: Sim, é comum. A média de {1, 2, 4} é 2,33… Nenhum dos valores originais é 2,33, e isso não é um erro — a média é uma medida calculada, não precisa coincidir com um elemento da amostra. O mesmo vale para a mediana em conjuntos pares. A moda, por definição, sempre é um valor presente na lista.
Precisa ordenar a lista para calcular a média?: Não. A média só depende da soma e da quantidade — a ordem não importa. Você só precisa ordenar para achar a mediana (e a ordenação é útil também para visualizar a distribuição). A moda pede contagem de frequências, também independente da ordem.