Como calcular a hipotenusa

O Teorema de Pitágoras

Em qualquer triângulo retângulo (um triângulo com um ângulo de 90°), o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Essa é uma das relações mais conhecidas da matemática, descoberta pelos babilônios e demonstrada pelos gregos na escola pitagórica.

Nessa fórmula, c é a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto, sempre o maior) e a e b são os catetos (os dois lados que formam o ângulo reto).

Como calcular a hipotenusa

Para achar a hipotenusa, isolamos c extraindo a raiz quadrada:

Exemplo: um triângulo retângulo com catetos 3 e 4.

1. Eleve cada cateto ao quadrado: 3² = 9 e 4² = 16.
2. Some os quadrados: 9 + 16 = 25.
3. Extraia a raiz quadrada: √25 = 5.
4. A hipotenusa é 5.

O terno (3, 4, 5) é um dos exemplos mais famosos de terno pitagórico — conjuntos de inteiros que satisfazem a equação. Outros ternos clássicos: (5, 12, 13), (8, 15, 17) e (7, 24, 25).

Como calcular um cateto

Se você conhece a hipotenusa e um dos catetos e quer descobrir o outro, reorganize a fórmula:

Exemplo: hipotenusa = 13, cateto = 5.

1. Eleve os dois ao quadrado: 13² = 169 e 5² = 25.
2. Subtraia: 169 − 25 = 144.
3. Extraia a raiz: √144 = 12.
4. O outro cateto vale 12.

Observação importante: o cateto conhecido precisa ser menor que a hipotenusa. Se não for, os dados estão trocados ou o triângulo descrito não é retângulo.

Quando usar o Teorema de Pitágoras

• Distâncias em linha reta. Para achar a distância diagonal entre dois pontos em um mapa quadriculado: se eles estão 3 km a leste e 4 km ao norte, a distância direta é 5 km.
• Altura de escadas. Uma escada de 5 m apoiada com a base a 3 m da parede chega a 4 m de altura (√(5² − 3²) = 4).
• Diagonais de retângulos. A diagonal de uma tela 16:9 de 40 cm × 22,5 cm é √(40² + 22,5²) ≈ 45,9 cm — ou ≈ 18 polegadas.
• Esquadros em construção. Pedreiros marcam ângulos retos medindo 3, 4 e 5 (ou múltiplos como 30-40-50 cm): se os três lados fecham exatamente, o ângulo entre 3 e 4 é 90°.

Erros comuns

• Somar em vez de elevar ao quadrado. "3 + 4 = 7" não é a hipotenusa; o passo obrigatório é elevar cada cateto ao quadrado antes de somar.
• Esquecer a raiz quadrada no final. Depois de somar os quadrados, você tem c², não c. Precisa extrair a raiz.
• Aplicar Pitágoras em triângulo não retângulo. A fórmula só vale quando existe ângulo de 90°. Para outros triângulos, use a Lei dos Cossenos.
• Trocar a hipotenusa com um cateto. A hipotenusa é sempre o maior lado. Se a conta der um "cateto" maior que a hipotenusa, algo está invertido.

Demonstrações do teorema

Existem mais de 300 demonstrações conhecidas do Teorema de Pitágoras, incluindo uma feita pelo 20º presidente dos Estados Unidos (James Garfield), em 1876. A mais intuitiva usa áreas: você desenha quadrados nos três lados do triângulo e percebe que a área do quadrado sobre a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados sobre os catetos.

Perguntas frequentes

O que é a hipotenusa?

Hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto (90°) em um triângulo retângulo. É sempre o maior dos três lados. Os outros dois lados, adjacentes ao ângulo reto, chamam-se catetos.

Qual é a fórmula do Teorema de Pitágoras?

A fórmula é c² = a² + b², onde c é a hipotenusa e a e b são os catetos. Para achar a hipotenusa, extraímos a raiz quadrada: c = √(a² + b²).

Como calcular um cateto quando conheço a hipotenusa?

Isolando o cateto na fórmula: a² = c² − b², ou seja, a = √(c² − b²). A calculadora faz isso automaticamente no modo "hipotenusa + cateto → cateto".

A hipotenusa pode ser menor que um cateto?

Não. A hipotenusa é sempre o maior lado do triângulo retângulo, porque está oposta ao maior ângulo (90°). Se você obtiver um valor menor, revise os dados — provavelmente os catetos e a hipotenusa foram trocados.

Pitágoras funciona com lados decimais?

Sim. A fórmula funciona para qualquer número real positivo — inteiros, decimais ou irracionais. Por exemplo, um triângulo retângulo com catetos 1 e 1 tem hipotenusa √2 ≈ 1,4142.

O que são ternos pitagóricos?

São conjuntos de três inteiros positivos que satisfazem a² + b² = c². Os mais famosos: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) e (7, 24, 25). Qualquer múltiplo deles também é um terno — (6, 8, 10), por exemplo.